一道算阴影部分面积的“小学五星题”

Ma Kai posted @ Aug 01, 2016 11:41:24 PM in 理科 , 692 阅读

首先评价:这道题肯定不是小学水平,至少是初中奥赛(要用三角函数),不过高中生水平应该会做。如果真是一道小学题,那么左下角那一块要涂满。

根据对称性,很容易看出来,如果填上左下角(下图中的ADE区域),那么阴影部分面积会很好求,矩形面积减去两个圆面积除以 2 就行了(这也正是小学题水平,但肯定算不上什么五星题)。

现在问题转化为求左下角(ADE)的面积。先画几条辅助线。

显然有 SADE=SABC-SDEBC,略加运算得到 [tex]S_{ADE}=\frac{25\pi}{4}-(S_{ODEC}-S_{ODC})[/tex]。

为了求 SODEC 和 SODC,有必要知道 ∠DOC。易得 tan∠OCD=tan∠CAB=0.5。为了方便,把 ∠OCD 记作 α,则有 ∠DOC=θ=π-2α。

首先可求出 SODEC:[tex]S_{ODEC}=\frac{25\theta}{2}=\frac{25}{2}(\pi-2\arctan\frac{1}{2})[/tex]。

根据几何关系:OF=5sinα,CF=5cosα,则 SODC = 12.5sin2α = 10。这里需要一定的三角函数知识才可得解。

现在把这些数据代回 SADE 的运算式中即得结果 [tex]10+25\arctan\frac{1}{2}-\frac{25\pi}{4}[/tex],约等于 1.956。

剩下的事情就很好办了,可以得到最终结果——原图中阴影部分面积 [tex]90-\frac{75\pi}{4}-25\arctan\frac{1}{2}[/tex],约等于 19.50。

小学题中不可能出现三角函数,所以这不可能是一道小学题,而是有人故意涂掉了区域ADE出来骗人的……有人似乎通过微积分得解,大概挺复杂,懒得用那个方法算了,不过这个几何办法也挺麻烦的。

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